动态光散射检测电机转速的互信息函数分析
动态光散射检测电机转速的互信息函数分析
王沙,杨志安，任中京
(济南大学理学院，济南250022)
摘要：通过计算互信息函数,对动态光散射得到的电机转速的时间序列进行了分析。研究表明，互信息函数法能 准确地测出电机转速。同时，由于互信息函数自身的优点-一能实际地反映出数据之间的相互关联，因此,与自相关函 数法比较,互信息函数法可反映出更多的动力学信息。对实验数据的时间序列作了二维的相空间重构,从重构图形发现 系统有2周期行为,并呈现有一些新现象。
关键词：光学测量;互信息函数；动态光散射；自相关函数；相空间重构
1引言
本文利用互信息函数对动态光散射法测电机转 速的实验进行了研究，准确测出了电机的转速。本 文对实验数据的时间序列作了二维的相空间重构， 发现了一些新的现象并进行了讨论。这些结果是以 往自相关函数法[1]分析中所没有的，文中比较了互 信息函数法与自相关函数法[2]两种方法的优劣。
2原理
按Shannon的信息理论，设S表示一组讯号为 S1 , S2 ,…，Sn的系统,出现Si的概率是Ps(nJ , i = 1, 2,, n。对另一组讯号为q , qi, qn的系统Q ,出 现qj的概率是Pq(qj) ,j = 1 ，2 ， n。q同时出 现的概率是Psq (Si, qj)。互信息的定义为：
I(S, Q)度量的是变量S与Q之间的一般性关联程 度,或比值Psq(Si, qj) / Ps(Si) Pq(qj)的整体不平整 程度。互信息越大，变量S与Q之间的关联程度越强，系统的不平整程度越高，系统越不均匀；互信息 越小，变量S与Q之间的关联程度越弱，系统的不 平整程度越低,系统越均匀。
在光子互信息法检测电机转速的实验研究中， 主要关心的是测量数据随延迟时间T的周期性，从 而得出电机的转速。在计算中对某给定的延迟时间 T，令[s, q] = [x (t) , x (t + T)],这时互信息 I 是 延迟时间T的函数。
因为电机转动是周期性的动力系统，其状态随 时间的演化可表示成s = x(T) = sint,则延迟坐标可表示成q = x (t + T) = sin(t + T) ，其中T是延迟时间。当延迟Ti = 0时,q = x (t + T) = sin(t + 0) = sin t，这时s与q是同一变量,s与q间的关联zui 强,这时I( Ti；取极大值。设系统周期是r,当h = t 时,q = x (t + t) = sin (t + t) = sin t,使互信肩、 I(T2)又取极大值,则两个极大点之差乃Ti = t 即为系统的周期。所以只要找出互信息I的两个相 邻极大值所对应的极大点Ti和T2 ,其差值丁 = T2 -Ti就是系统的周期。当周期t确定后，就可求出 转速。另外利用由互信息I( T)的极大值来确定周 期,易于辨别和计算。
3互信息的计算。
互信息I(S , Q)的计算可用等间距划分空间格子的方法进行：由给定的延迟时间T得到(s’q)，作出（s , q)平面，在(s’q)平面上重构出图形（例如 后面的重构图7) ，再在图形上对欲求互信息I(S ， Q)所需的点集区域划出矩形框A。设^是A在s方 向的长度,Aq是A在q方向的长度，然后把A再等间 距地划分成小格子e。方向小格子的长度记为&s’s 方向小格子的数目为M，所以As = Mes。同理,q方 向小格子的长度记为eq, q方向小格子的数目为Mf，则A = M,eq。在A中小格子e的总数为M X m'。 设(a ， b)是所划格子A的起始点，对米样点(s，q) 作下述判断：
若满足
表明(s，q)在小格子ei中就进行一次记录，直到 将所有的数据点全部搜寻一遍，记录落入标号为(i ’ j)的小格中所有的数据点同时记录落入范围 在i - 1到i内的点数Ns,和从j - 1到j内的点数 Nq,即可得到，Psq (si ’ qj) = Nsq/ Ntotal ， Ps (si)= Ns/ Ntotal ’ Pq ( qj) = Nq/ Ntotal ’ 其中 Ntotal 是全部采 样点数。将Psq、q代入公式（1) 就可求出在给 定延迟时间T值下的互信息值I(S ’ Q) [47]。
在测电机转速的实验中，由于电机所带动的转 动圆盘不是*均匀的，在转动的过程中，从其上面 散射的光就会呈现周期性。我们首先用探测器来接 收这些散射光，得到散射光的时间序列；其次编制出 计算互信息的程序，计算出给定延迟时间T值下的
互信息值I( T) ，得出互信息函数曲线;zui后利用互 信息函数曲线，求出转动的周期性，从而求出转速。
4实验装置
实验系统如图1所示。
图1实验系统结构示意图
取样点处的光子数随时间的变化
图3对实验数据的互 信息处理（I-t图）
用直流电 动机带动圆盘 转动，电机转速 可调。圆盘散 射的光经过两 个光阑及透镜图2 的会聚由光电 倍增管接收,:，
把光电数字信 号进行互信息 处理，就得出互 信息曲线。
在一定的 测量时间内，米 集的光子数随
时间变化的曲线如图2所示。从图3可以看出互信息处理周期变化的信号显现了出来。
5由实验数据计算电机转速
对电机施加不同电压’电机得到不同转速。采集 某一转速下随时间变化的光子数’用自编软件对采 集到的数据计算互信息函数。对确定的延迟时间T, 得到相应的互信息/值/对不同的延迟时间r,得到 不同的互信息值，可得到互信息的函数曲线。分析互信息函数欠曲线的周期特性，可计算出相应的转速。
对一组数据的互信息曲线(如图3)进行相应转速计算：由互信息极大点可知圆盘转动周期为25 *2ms，转速
n =60/ (25 X2 X10"3) = 1200(r/min)
所得结果与文献[2]所用的自相关函数(用R表示)
图4同一组实验数据的自相关函数图（R-t）
见图4)所计算出的电机转速相同。这说明把互信 息函数法应用于动态光散射测电机转速的实验中， 是可行的。
6相空间时间延迟重构原理
对时间序列进行动力学分析的一个前提，是必 须有一个可用于工作的相空间。由于不知道系统的 动力学方程或模型,而且从实际测量中仅能得到一 个单标量的时间序列，因而从这个单标量的时间序 列重构相空间，就成为时间序列分析的基础之一。
相空间重构的方法有多种，zui常用的是 Packard[5]等人提出的时间延迟坐标的思想，重构出 所观测到的动力系统的相空间。他们指出，对一组 观测标量s (1) ,s(2) … s ( n)中的某个值s ( n) 可 得到延迟T时刻后的测量值s(n + T) ’然后使用这 种时间延迟的集合构造出一个d维矢量
x (n) = [s (n),s (n + T) ,s (n + 2 T) , ….., x(n + (d - 1) T)]
式中T为时间延迟;d为嵌入维。相空间重构的结 果应保留原系统的动力学性质和几何性质，这要求 重构变换是嵌入,这一点可由Takens[6]定理保证。 这时，这个矢量包含了原始的实际变量的动力学信息，这样就重构出了所需要的相空间。
7对实验数据的二维重构
Taken定理给出的仅是嵌入的充分条件，为了计算互信息，只需对系统进 行二维重构即 可。采集另一 转速下电机的 一组实验数据 进行二维重 构，延迟时间 T从1取到 140,计算出互 信息值’相应 的互信息函数 曲线是图5,相 应的自相关曲线见图6。
从这组数据测出的电机转速：由两个互信息相 邻极大值的间隔可知电机旋转周期为13 X2ms,则 转速 n = 60/ (13 X2 X10-3) = 2307. 7r/min。从这 组数据的自相关函数图6可明显看出，自相关把噪 声抹平了，能很好地提取出系统的周期信号。而互 信息函数能反映出更多的动力学信息，由于噪声或 其他细节的干扰，周期性减弱，但仍能从两个相邻的 互信息极大值判断出系统所具有的周期特性。
选取几个延迟时间，做出二维重构图如图7(a)- (e) 。
在T = 51 ,89两个互信息极大点处作出的重构图[如图7 (a) , (e)]。
图7对一组实验数据的相空间二维重构图
轨道基本上挤压在主对角线上，这时失真zui大，关联zui强。这个结果表明，所讨 论的系统是确定论的系统。当互信息处于相对较小值的点上做出的重构图，轨道开始展开。当互信息取极小值时，重构图轨道整体展开到zui大[如图7 (b) ,(c)]。当T由小逐渐变大的过程中，轨道随着互信息值的增大而展开，随着互信息值的减小而压缩;轨道随着互信息值的再增大而再展开，随着互信 息值的再减小而再压缩，不断重复此过程。这说明系统的动力学有周期性,互信息函数刻画了这种周期规律。
从图7(b)中可以明显看出，重构的曲线绕了两 圈后与自身重合，这反映了系统具有二周期特性，即 系统整体有一个大周期,里面还套着一个小周期。 这个结果表明，系统除了有整体的转动周期外，还有 因测试对象不是理想的转动，如电机本身的不均匀, 及测试对象不光滑，此外还有环境及噪声等其它因 素引起的附加的周期和非周期行为。
图7(c)的重构图与图7(b)的重构图有明显的 区别，图7(b)中只有正向转动的行为,而图7(c)中 除了有正向转动的行为外,还有逆向转动的部分。
另外它们的拓扑不同，主要表现在图7(c)中有两个 交叉点，而图7(b)中只有一个交叉点。这些结果反 映出，在电机转动这一简单的实验中，包含有复杂的 动力学内容。但是这种逆向转动的原因，及不同的 拓扑所包含的物理意义还不清楚，有待进一步研究。
8总结
本文将互信息函数应用于动态光散射检测电机 转速的研究，准确地测出电机转速，这一结果与自相 关函数法的结果一致。并且互信息函数法是真正意 义上的相互关联，可得到更多系统的动力学信息，这 些信息常常被淹没于噪声中。
同时，本文将相空间二维重构应用于动态光散射检测电机转速的研究中，从相空间重构图中可以 得出许多的动力学信息，比如系统的二周期性，实验 受外界的噪声干扰等。这些现象有待进一步研究。
